Introducción al estudio de las ecuaciones diferenciales parciales de evolución en espacios de Sobolev

Abstract

Se presentará en este trabajo la teoría necesaria con el fin de justificar la buena formulación local de los tres modelos de ecuaciones diferenciales parciales de evolución siguientes: (I) du(x,t)+d3u(x,t)+uP(x,t)du(x,t) = 0 u(x,0) = u0 (x) donde u pertenece a H,s > Y2 con x perteneciente a R, t>=0 y p perteneciente a Z+. La ecuación de KdVg al igual que la ecuación de Korteweg-de Vries describe en una dimensión espacial, la propagación de ondas de longitud de onda larga en medios dispersivos no lineales. Un objetivo en el presente trabajo consiste en demostrar la buena formulación local del problema de valor inicial en el sentido de Hadamard, cuando el dato inicial u0 pertenece a los espacios de Sobolev Hs con s > 3/2 . A fin de probar la existencia y unicidad de solución local se utiliza el método de regularización parabólica y para probar la dependencia continua de la solución respecto del dato inicial son utilizados los estimados de Bona-Smith. (ll) du(x, t) + d3u(x, t) + u2 (x, t)d,u(x, t) = 0 u(x,0)=u0 (x) donde u pertenece a H ,s = 1/4 con x perteneciente a R, t>=0 Otro objetivo consiste en demostrar la buena formulación local del problema de valor inicial en el sentido de Hadamard, cuando el dato inicial u0 pertenece al espacio de Sobolev H. A fin de probar la existencia y unicidad de solución local se utilizan los estimados lineales. De manera similar, otro objetivo consiste en demostrar la buena formulación local del problema de valor inicial en el sentido de Hadamard, cuando los datos iniciales u0 , v0 pertenece a los espacios de Sobolev H con s > 3/2. Análogamente como en (I) a fin de probar la existencia y unicidad de solución local de (III) se utiliza el método de regularización parabólica y para probar la dependencia continua de la solución respecto de los datos iniciales son utilizados los estimados de Bona-Smith.