UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA ESCUELA PROFESIONAL DE FÍSICA “EXTENSIONES CONFORMES MÍNIMAS DEL MODELO ESTÁNDAR DE LA FÍSICA DE PARTÍCULAS PARA EXPLICAR EL MOMENTO MAGNÉTICO ANÓ MALO DEL MUÓN” TESIS PARA OPTAR EL TÍTULO PROFESIONAL DE LICENCIADO EN FÍSICA AUTOR ARTEAGA TUPIA, MARTÍN DIONISIO ASESOR: SOTELO BAZÁN, EDUARDO FRANCO LÍNEA DE INVESTIGACIÓN: FÍSICA DE PARTÍCULAS, CAMPOS DE LA FÍSICA Callao, 2024 PERÚ https://purl.org/pe-repo/ocde/ford#1.03.03 https://purl.org/pe-repo/ocde/ford#1.03.03 iii N° Descripciones Similitudes Ubicaciones Datos adicionales 1 ARTEAGA TUPIA MARTIN DIONISIO EXTENSIONES CONFORMES MÍNIMAS DEL MODELO ESTANDAR DE LA FÍSICA DE PARTÍCULAS PARA EXPLICAR EL MOMENTO MAGNÉTICO ANÓMALO DEL MUÓN Nombre del documento: 1 ARTEAGA TUPIA MARTIN DIONISIO EXTENSIONES CONFORMES MÍNIMAS DEL MODELO ESTANDAR DE LA FÍSICA DE PARTÍCULAS PARA EXPLICAR EL MOMENTO MAGNÉTICO ANÓMALO DEL MUÓN.pdf ID del documento: fe816491db8f69c6b0fc13fb189f906d71aa46d0 Tamaño del documento original: 2,15 MB Depositante: FCNM PREGRADO UNIDAD DE INVESTIGACION Fecha de depósito: 19/6/2024 Tipo de carga: interface fecha de fin de análisis: 19/6/2024 Número de palabras: 20.874 Número de caracteres: 122.502 Ubicación de las similitudes en el documento: Fuentes de similitudes Fuentes principales detectadas N° Descripciones Similitudes Ubicaciones repositorio.ucam.edu 1 http://repositorio.ucam.edu/bitstream/10952/2756/1/libro Febrero 2018.pdf 108 fuentes similares 2% Palabras idénticas: 2% (1192 palabras) fisicas.ucm.es 2 https://fisicas.ucm.es/data/cont/media/www/pag-39686/fisica-general-libro-completo.pdf 108 fuentes similares 2% sedici.unlp.edu.ar 3 http://sedici.unlp.edu.ar/bitstream/handle/10915/60323/Documento_completo.pdf?sequence=3 108 fuentes similares 2% Palabras idénticas: 2% (1100 palabras) eprints.ucm.es 4 https://eprints.ucm.es/id/eprint/47568/1/T39905.pdf 108 fuentes similares 2% digibuo.uniovi.es 5 https://digibuo.uniovi.es/dspace/bitstream/10651/64323/4/TFG_CovadongaGalanFernandez.pdf 111 fuentes similares 2% Palabras idénticas: 2% (1048 palabras) Fuentes con similitudes fortuitas 1 repositorio.unac.edu.pe http://repositorio.unac.edu.pe/bitstream/20.500.12952/6772/1/IF_REYNA_FIQ_2022.pdf 2 metode.es https://metode.es/wp-content/uploads/2014/11/83ES4_estadistica_fisica_particulas.pdf 3 unac.edu.pe https://unac.edu.pe/images/transparencia/facultades/fcnm/resoluciones-de-consejo-de-facultad/20… < 1% Palabras idénticas: < 1% (27 palabras) < 1% Palabras idénticas: < 1% (37 palabras) < 1% Palabras idénticas: < 1% (24 palabras) 5 repositorio.unac.edu.pe http://repositorio.unac.edu.pe/bitstream/20.500.12952/8496/1/TESIS - BAZAN-SANG.pdf < 1% Palabras idénticas: < 1% (20 palabras) Fuentes mencionadas (sin similitudes detectadas) Estas fuentes han sido citadas en el documento sin encontrar similitudes. 2 https://www.mpi-hd 4 https://www.wolfram.com/mathematica 3 https://www.mpi-hd.mpg.de/mpi/en/research/scientific-divisions-and-groups/independent-research-groups/newfo/research/electroweak-symmetry-breaking-and-the-… 1 https://purl.org/pe-repo/ocde/ford#1.03.03 4 fcnm.unac.edu.pe https://fcnm.unac.edu.pe/wp-content/uploads/2024/05/R.D-N°058-2024-Aprob.-fecha-y-hora-de-sus… < 1% Palabras idénticas: < 1% (24 palabras) INFORME DE ANÁLISIS magister 10% Textos sospechosos 6% Similitudes 0% similitudes entre comillas 0% entre las fuentes mencionadas 6% Idiomas no reconocidos http://repositorio.ucam.edu/bitstream/10952/2756/1/libroFebrero2018.pdf http://sedici.unlp.edu.ar/bitstream/handle/10915/60323/Documento_completo.pdf?sequence=3 http://repositorio.unac.edu.pe/bitstream/20.500.12952/6772/1/IF_REYNA_FIQ_2022.pdf http://repositorio.unac.edu.pe/bitstream/20.500.12952/8496/1/TESIS http://www.wolfram.com/mathematica http://www.mpi-hd.mpg.de/mpi/en/research/scientific-divisions-and-groups/independent-research-groups/newfo/research/electroweak-symmetry-breaking-and-the- iv VII _______________________ UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ciencias Naturales y Matemática Jurado Evaluador de Tesis RESOLUCIÓN DECANAL Nº 166-2023-D-FCNM ============================================================= Bellavista, mayo 20, 2024. INFORME EL JURADO EVALUADOR DE TESIS DESIGNADO POR RESOLUCIÓN Nº 166-2024- D-FCNM, informa que la Tesis titulada “EXTENSIONES CONFORMES MÍNIMAS DEL MODELO ESTANDAR DE LA FÍSICA DE PARTÍCULAS PARA EXPLICAR EL MOMENTO MAGNÉTICO ANÓMALO DEL MUÓN”, expuesta por el Bachiller, Sr. ARTEAGA TUPIA, MARTÍN DIONISIO, no presentó observación alguna concluido el Acto de Sustentación realizado el 17.05.2024 en el Auditorio de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática. Es cuanto cumplo con informar para los fines pertinentes. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA JURADO EVALUADOR DE TESIS _ Dr. JORGE ABEL ESPICHÁN CARRILLO PRESIDENTE jaec/ DEDICATORIA La presente tesis de licenciatura se la dedico a mis padres, Juana y Dionisio, a mi hermana, Fiorella, a mi enamorada, Leonor, a mis seres queridos que ya no se encuentran presentes f́ısicamente pero quienes siempre están acompañandome en el corazón, Mamita Ricardina, Mamita Mila, Papacito Nicho, mi t́ıo Robert y a nuestras mascotas que nos acompañan y a las que ya no. ix INFORMACIÓN BÁSICA: Facultad: Facultad de Ciencias Naturales y Matemática Unidad de Investigación: Facultad de Ciencias Naturales y Matemática T́ıtulo: Extensiones conformes mı́nimas del Modelo Estándar de la F´ısica de Part´ıculas para explicar el momento magnético anómalo del muón Autor/Codigo ORCID/DNI: Bach. Mart´ın Dionisio Arteaga Tupia/ 0000-0002-2167-0295/45471685 Asesor/Codigo ORCID/DNI: Mg. Eduardo Franco Sotelo Bazán/ 0000-0003-1818-5907/47529685 Lugar de ejecución: Facultad de Ciencias Naturales y Matemática Unidades de Análisis: El Momento Magnético Anómalo del Muón Tipo/Enfoque/Diseño Básica/Explicativa/Cuantitativa de investigación: de Método Hipotético-Deductivo Tema OCDE: F´ısica de part´ıculas, Campos de la F´ısica https://purl.org/pe-repo/ocde/ford#1.03.03 x AGRADECIMIENTOS La presente tesis de licenciatura ha sido desarrollada en un periodo en el que nos encontrábamos saliendo de la infeliz pandemia del COVID-19. Es en este marco temporal, con grandes retos a cuestas, que este trabajo se culminó. Agradezco pro- fundamente el apoyo de mi asesor y amigo Mg. Eduardo Franco Sotelo Bazán, aśı como al señor decano de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Uni- versidad Nacional del Callao Dr. Juan Abraham Méndez Velásquez por el apoyo y empuje que da a todos los egresados. Junto a ellos, agradezco infinitamente el soporte económico, por parte del Vicerrectorado de Investigación de mi alma mater la Universidad Nacional del Callao, en la forma de subvención brindada a través de la Resolución Rectoral N° 015-2023-R.-CALLAO. Asimismo agradecer a los colegas y amigos de mi campo, por las diferentes discu- siones que han llevado al nacimiento del presente trabajo. De esta forma agradezco profundamente las discusiones con mi orientador del doctorado Dr. Enrico Bertuz- zo, a mis colegas Dr. Daniele Barducci y a la Phd. (c) Ana Luisa Foguel por los valiosos intercambios de ideas. También agradezco a la Universidad de São Paulo por el soporte en conocimiento. Sin duda, también agradezco a mis amados padres Juana V. Tupia Navarro y Dionisio E. Arteaga Rivadeneyra, por su aliento y amor infinito, a mi hermana Fiorella Z. V. Arteaga Tupia porque siempre cree en mi, sin su apoyo nada seria posible. Agradezco también a mis amigos y compañeros de la vida por su invaluable soporte y apoyo emocional. Entre ellos, a mi enamorada Leonor Huanachin por su compañia, comprensión y cariño, a Gustavo Cancino, Irving Lopez y Silvia Anguis por su amistad desde la secundaria, a Ana Luiza Quilici por su amistad y el gran aprecio, a Rosio Inga, y Daniela Montellanos (Q.E.P.D.) por su gran amistad, a Ana Roćıo Cardenas, Yugo Gushiken, Stephany Torres, Hellen Souza, Matheus Cruz, Matheus Hamilton, y Jesús Cifuentes por ser familia cuando estaba lejos de casa. Finalmente, las personas e instituciones que me han permitido culminar este trabajo son innumerables, y probablemente por ello no recuerde a todos, desde ya mis más sinceras disculpas y decirles que mi frágil memoria no refleja mi agradecimiento infinito. xi Índice RESUMEN ............................................................................................................... 1 ABSTRACT .................................................................................................. 2 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 3 I. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .................................................... 5 1.1 Descripción de la realidad problemática ........................................................ 5 1.2 Formulación del problema ............................................................................... 5 1.2.1 Problema general .................................................................................. 5 1.2.2 Problemas espećıficos .......................................................................... 5 1.3 Objetivos ............................................................................................................ 5 1.3.1 Objetivo general .................................................................................... 5 1.3.2 Objetivos espećıficos ............................................................................ 6 1.4 Justificación ...................................................................................................... 6 1.5 Delimitantes de la investigación ..................................................................... 6 II. MARCO TEÓRICO .............................................................................................. 8 2.1 Antecedentes: Internacional y nacional ....................................................... 8 2.1.1 Antecedentes Internacionales .............................................................. 8 2.1.2 Antecedentes Nacionales .................................................................... 10 2.2 Bases teóricas .................................................................................................. 11 2.2.1 El Modelo Estándar ........................................................................... 11 2.2.2 Los leptones en el Modelo Estándar ................................................. 15 2.2.3 Bases experimentales y teóricas de los muones ................................ 18 2.2.4 El momento magnético anómalo del muón ...................................... 20 2.2.5 Simetr´ıas Conforme y de Escala ............................................... 26 2.2.6 Extensiones del Modelo Estándar con simetŕıa de escala ............... 31 2.2.7 Modelo: SM + dilaton ................................................................ 36 2.3 Marco Conceptual ........................................................................................... 39 2.4 Definición de términos básicos ....................................................................... 39 III. HIPÓTESIS Y VARIABLES ............................................................................... 41 3.1 Hipótesis .......................................................................................................... 41 3.1.1 Hipótesis general ................................................................................. 41 3.1.2 Hipótesis espećıficas ........................................................................... 41 3.2 Operacionalización de variable ...................................................................... 41 3.2.1 Operacionalización de variables ........................................................ 41 IV. METODOLOGÍA DEL PROYECTO ................................................................ 42 4.1 Diseño metodológico ....................................................................................... 42 4.2 Método de investigación ................................................................................. 42 4.3 Población y muestra ....................................................................................... 42 4.4 Lugar de estudio y periodo desarrollado ....................................................... 42 4.5 Técnicas e instrumentos para la recolección de la información .................. 42 xii 4.6 Análisis y procesamiento de datos ................................................................ 42 4.7 Aspectos Éticos en Investigación .................................................................. 42 V. RESULTADOS ............................................................................................ 43 5.1 Resultados descriptivos .................................................................................. 43 5.2 Resultados inferenciales ..................................................................................45 5.3 Otro tipo de resultados estad´ısticos, de acuerdo a la naturaleza del problema y la Hipótesis ................................................................................. 45 VI. DISCUSIÓN DE RESULTADOS ....................................................................... 46 6.1 Contrastación y demostración de la hipótesis con los resultados ...............46 6.2 Contrastación de los resultados con otros estudios similares ..................... 46 6.3 Responsabilidad ética .................................................................................... 47 VII. CONCLUSIONES ........................................................................................ 48 VIII. RECOMENDACIONES ............................................................................... 49 IX. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................... 50 X. ANEXOS .................................................................................................... 53 xiii Lista de Figuras 1 Contenido de part́ıculas dentro del Modelo Estándar. Los leptones son representados en color verde [1]. ............................................................ 12 2 El mecanismo de quiebra de simetr´ıa establece que, mientras se cum- pla la condición µ2 > 0, el potencial tiene un único vaćıo de la teor´ıa cuyo valor es⟨ H⟩= 0. Bajo estas condiciones, la teor´ıa es aproximadamente invariante en escala, donde el único término don- de el coeficiente tiene dimensiones es el correspondiente al término cuadrático de V (H). Es importante hacer notar que cuando se cum- ple la Ec.(2), el modelo continúa teniendo SU (2)L × U (1)Y como grupo de simetr´ıa. Sin embargo, cuando µ2 < 0, el potencial escalar del Higgs V (H) desarrolla más de un extremo, lo que conlleva a un valor de expectación de vaćıo diferente de cero, siendo ese el nuevo estado base de la teor´ıa. Un efecto importante que debe ser mencio- nado es el impacto en los grupos de simetŕıa del Modelo Estándar, ya que estos ya no son más el grupo SU (2)L × U (1)Y . La teor´ıa ahora disfruta de una simetr´ıa diferente, asociada al grupo de gauge unipa- ramétrico del campo electromagnético U (1)EM. En la presente figura podemos visualizar un esquema de este patrón de quiebra de simetŕıa SU (2)L × U (1)Y → U (1)EM, en la literatura tambień se le suele llamar quiebra de simetŕıa electrodébil [2–4]. .......................................................... 13 3 Medida del espectro de masa en el decaimiento H → ZZ∗ → 4 Leptons (lado izquierdo) y en el de dos fotones en H → γγ (lado derecho). La l´ınea roja representa el ajuste a los datos experimentales. En la figura está incluida la resonancia que representa al boson de Higgs y el fondo de datos experimentales. Éste fondo de datos proviene de las colisiones (no resonantes) protón protón, qq → ZZ∗ (lado izquierdo) y qq → γγ (lado derecho) [5]. ......................................................................... 14 4 Los muones producidos en la atmósfera pueden viajar distancias sig- nificativamente mayores a esta estimación debido a su alta velocidad y al efecto de dilatación temporal de la relatividad especial de Eins- tein [6].............................................................................................................. 19 5 Algunos de los diagramas de Feynman que contibuyen al valor de al. (a) Nos muestra algunas contribuciones provenientes del sector de la QED. La ĺınea ondeada representa al propagador del fotón Aµ. (b) Contribuciones hadrónicas o nucleares. El circulo pintado de rojo re- presenta las muchas contribuciones pertenecientes al sector fuerte. (c) Contribuciones del sector débil provenientes de bucles formados por los bosones Z, W ±, H y (en el gráfico central) un neutrino muónico νµ. 23 xiv EM EM 6 La última medida combinada que fue realizada en el 2021 por la cola- boración Muon g − 2 del Fermilab (por las siglas de ‘Fermi National Accelerator Laboratory’) [7] en conjunto con el valor reportado por la colaboración E821 en el Laboratorio Nacional de Brookhaven [8], arroja un valor de ∆aµ = 251(59)×10−11 para la anomal´ıa del mo- mento magnético del muón con una desviación de 4.2σ del Modelo Estándar [9–13]. ............................................................................................. 24 7 El experimento de la colaboracion Muon g−2 mide aµ mediante el al- macenamiento de muones en un anillo de almacenamiento magnético y la observación de la precesión ωa de su esṕın [7]. .................................... 25 8 Reglas de Feynman de los términos de interacción entre el dilatón y los campos del SM .......................................................................................... 37 9 Ejemplo de diagrama de Feynman a un lazo que contribuyen a la anomaĺıa del muón ∆aµ tratados en el presente estudio ............................ 43 10 Nuevos diagramas de Feynman a un lazo que contribuyen a la ano- maĺıa del muón ∆aµ ................................................................................................................................. 44 11 Los diagramas de la Fig.10 contribuyen al cálculo de ∆aµ . Aqúı se ha considerado los escenarios beff = 103, cµφ = 5, bγZ = 1 y beff = 175, cµφ = 60, bγZ = 1. El espacio de parámetros satisface la medida experimental ∆aµ = 251(59) ×10−11, y además está restringido por los l´ımites del Gran Colisionador de Electrones y Positrones (LEP) [14]. Las franjas azul y naranja nos muestran las regiones permitidas a 1σ y 2σ, respectivamente. .................................................................................... 45 xv Lista de Tablas 1 Propiedades de los leptones en el Modelo Estándar, masa y tiempo de vida [2, 15]. ................................................................................................................ 16 2 Experimentos pasados y futuros que han medido (o medirán) el mo- mento magnético anómalo del muón de forma directa o indirecta ....................... 26 1 RESUMEN El Modelo Estándar (SM, por las siglas de la palabra en ingĺes ‘Standard Model’) ha emergido como la teor´ıa preeminente en la f´ısica de part´ıculas. No obstante, anomaĺıas recientes, como la discrepancia magnética del muón (representada por ∆aµ), sugieren la posible existencia de nueva f´ısica (NP, por las siglas de la palabra en inglés ‘New Physics’). Esta investigación se centra en las extensiones mı́nimas conformes del Modelo Estándar, evaluándolas como posibles soluciones a dichas discrepancias. Se profundiza en el estudio de la invariancia conforme y de escala, evaluando su relevancia en el contexto actual. Se propone una extensión mı́nima del Modelo Estándar con invarianza de escala, diseñada espećıficamente para abordar la anomaĺıa del muón. Los resultados obteni- dos revelan que hay regiones en el espacio de parámetros permitidos que explican de manera efectiva el valor observado de ∆aµ dentro del modelo propuesto. Concluimos subrayando la importancia de estos hallazgos: sientan un precedente crucial para fu- turas investigaciones de modelos con invariancia de escala más elaborados. Estos modelos avanzados podŕıan ofrecer explicaciones más amplias y detalladas para la anomaĺıa del muón, aprovechando un espectro más extenso de parámetros. 2 ABSTRACT The Standard Model has emerged as the preeminent theory in particle physics. However, recent anomalies, such as the muon magnetic discrepancy (represented by ∆aµ), suggest the potential existence of new physics. This research focuses on the minimal conformal extensions of the Standard Model, evaluating them as possible solutions to these discrepancies. It delves into the study of conformal and scale invariance, assessing their relevance in the current context. A minimal extension of the Standard Model with scale invariance is proposed, specifically designed to address the muon anomaly. The results obtained reveal that there are regions in the allowed parameter space that effectively explain the observed value of ∆aµ within the proposed model. We conclude by underlining the importance of these findings: they set a crucial precedent for future research on more elaborate scale-invariant models. These advanced models could offer broader and more detailed explanations for the muon anomaly, leveraging a wider spectrum of parameters. 3 INTRODUCCIÓN El Modelo Estándar de la f́ısica de part́ıculas es la mejor descripción teórica que tenemos del universo a escala microscópica. Sin embargo, no es infalible, y desde hace tiempo se han señalado ciertos problemas que adolece, algunos de carácter teórico y otros de ı́ndole experimental. En años recientes, con la mejora en la precisión de los experimentos, se han descubierto ciertas desviaciones en la medida de ciertos observables que el Modelo Estándar no puede explicar. Por ejemplo, algunos de los casos más emblemáticos son: 1. La masa de los neutrinos, 2. La materia oscura, 3. El problema de jerarqu´ıa, 4. El momento magnético anómalo del muón. Siendo el problema de jerarqúıa el único de esta lista que es de carácter netamen- te teórico. Este problema teorico, a su vez, está vinculado a un concepto conocido como naturalidad técnica, que de forma simplificada indica que la magnitud de las interacciones debe estar en órdenes comparables. En general, este tipo de problemas sugiere la posibilidad de nueva f´ısica. Las teor´ıas que intentan explicar dicha nueva f́ısica son conocidas como modelos más allá del Modelo Estandar (BSM, por las siglas de la palabra en ingĺes ‘Beyond Standard Model’). Entre esos problemas, el del momento magnético anómalo del muón ∆aµ ha sido campo de intenso estudio en los últimos años. Por tanto, representa un interesante fenómeno que puede darnos luz sobre esta nueva f́ısica y qué camino seguir. La razón detrás de tal interés en la comunidad ha sido el incremento en la confiabilidad de su medida experimental, que actualmente llega a los 4.2σ [7]. Encontrar un modelo teórico que explique adecuadamente esta anomaĺıa para el muón es, por tanto, un punto de partida hacia modelos más complejos. Una posible medida anómala para el electrón ∆ae también es sugerida en la literatura y por los experimentos, aunque su confiabilidad aún es tema de debate. Por otro lado, el caso del tau ∆aτ seŕıa una predicción del modelo teórico que intenta explicar estas anomaĺıas. Una dificultad extra que aparece al momento de querer explicar estas anomaĺıas teóricamente es en el signo adecuado de cada una. Por ejemplo, la anomal´ıa es positiva para el caso del muón, aparentemente negativa para el electrón y de signo aún no definido para el tau. Un escenario interesante que nos plantea posible f́ısica más allá del Modelo Estándar es el de las teoŕıas con invarianza conforme. Este tipo de teoŕıas tiene la particularidad de gozar de la propiedad de invarianza de escala y de invarian- za sobre transformaciones especiales conformes. En el primer caso, significa que la teoŕıa es insensible a reescalamientos, y en el segundo, geométricamente representa a las transformaciones que dejan invariante el ́angulo entre dos vectores. Este tipo 4 de teoŕıas cobró mayor relevancia en los últimos años debido a ser un ingrediente im- portante dentro de la teor´ıa de cuerdas (supercuerdas) y, sobre todo, debido al auge de la correspondencia AdS/CFT1, la cual es una dualidad que aparece entre teor´ıas de campos cuánticos con invarianza conforme y teoŕıas clásicas de gravedad en un espacio Anti-de Sitter. Asimismo, se ha planteado que las ondas gravitacionales ge- neradas por transiciones de fase en el universo temprano son especialmente fuertes en modelos conformes, volviéndose potenciales candidatos a ser detectados a través de señales gravitacionales. Es aśı que una extensión conforme del Modelo Estándar de la f́ısica de part́ıculas que pueda explicar el momento magnético anómalo del muón es un escenario interesante para ser explorado. 1 AdS/CFT hace referencia a la dualidad encontrada en la década de los 90’, la cúal relaciona una teor´ıa de gravedad en cinco dimensiones en un espaciotiempo Anti-de Sitter (AdS)y una teor´ıa conforme de campos en espaciotiempo plano en cuatro dimensiones (CFT). 5 I. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1.1. Descripcion de la realidad problemática El Modelo Estándar de la f́ısica de part́ıculas, aunque ha sido un pilar fundamen- tal en nuestra comprension del universo a nivel subatómico, enfrenta limitaciones significativas al intentar explicar ciertos aspectos teóricos y resultados experimenta- les recientes. Estos desaf´ıos incluyen, pero no se limitan a, la masa de los neutrinos, la naturaleza de la materia oscura, el problema de jerarqúıa asociado al bosón de Higgs, y el momento magnético anómalo del muón. De manera espećıfica, el Modelo Estándar no logra integrar adecuadamente a los neutrinos con masa dentro de su estructura teórica. Además, el concepto de ma- teria oscura, un componente esencial para explicar las observaciones astronomicas, no encuentra representación dentro de este modelo. Por otro lado, el problema de jerarqúıa se refiere a la inusual sensibilidad del bosón de Higgs a las correcciones cuanticas, un fenómeno que el Modelo Estándar no explica satisfactoriamente. En particular, el momento magnético anómalo del muón ha captado creciente atención en los últimos años, debido a la mejora en las mediciones experimentales. Este fenómeno se caracteriza por una discrepancia significativa entre el valor medido experimentalmente y el valor teórico predicho por el Modelo Estándar. Ante esta problemática, las extensiones del Modelo Estándar que incorporan la invariancia de escala y que, simultáneamente, pueden proporcionar una explicación coherente para la anomaĺıa del momento magnético del muón, se han vuelto especial- mente interesantes. Estas extensiones no solo prometen resolver estas discrepancias espećıficas, sino que también tienen el potencial de impactar de manera profunda en otros campos de la f́ısica teórica, abriendo nuevas v́ıas para el entendimiento del universo a nivel fundamental. 1.2. Formulación del problema 1.2.1. Problema general ¿Pueden extensiones mı́nimas del Modelo Estándar con invarianza de escala ex- plicar el momento magnético anómalo del muón? 1.2.2. Problemas espećıficos 1. ¿Cómo podemos extender el Modelo Estándar incorporando la invarianza de escala? 2. ¿Es posible conciliar este escenario con los l´ımites impuestos por la cosmolog´ıa y por las mediciones de precisión electrodébiles? 1.3. Objetivos 1.3.1. Objetivo general Explicar el momento magnético anómalo del muón a través de teoŕıas efectivas más allá del Modelo Estándar que posean invarianza de escala. 6 1.3.2. Objetivos espećıficos 1. Determinar extensiones efectivas consistentes del Modelo Estándar que posean invarianza de escala. 2. Determinar los espacios de parámetros permitidos que están de acuerdo con los ĺımites cosmológicos y de experimentos electrodébiles. 1.4. Justificación La búsqueda de modelos que extiendan y perfeccionen el Modelo Estándar de la f´ısica de part´ıculas representa un campo de estudio arduo y complejo. Las razones que impulsan esta búsqueda son variadas y se pueden clasificar en dos categoŕıas principales: teóricas y experimentales. Desde el punto de vista teórico, uno de los principales desaf́ıos es el conocido problema de la jerarqúıa, asociado al bosón de Higgs. Este problema se centra en la gran sensibilidad del boson de Higgs a las correcciones cuánticas, una cuestión que aún no encuentra una respuesta satisfactoria dentro del Modelo Estándar. Por otro lado, en el ámbito experimental, existen observaciones y resultados que desaf́ıan las predicciones del Modelo Estándar. Entre estos, destacan la oscilación de neutrinos y el momento magnético anomalo del muón. Estos fenómenos sugieren que podŕıan existir aspectos de la f́ısica de part́ıculas aún no contemplados por el Modelo Estándar. Debido al aumento en el nivel de confianza hasta alcanzar aproximadamente los 5σ en las mediciones del momento magnético anómalo del muón, este estudio se enfocará espećıficamente en explorar este fenómeno. El objetivo es investigar, en- tender y desarrollar una extensión del Modelo Estándar que incorpore la invarianza conforme. Esta aproximación no solo busca proporcionar una explicación coherente para el momento magnético anómalo del muón, sino que también aspira a contribuir al entendimiento más amplio del Modelo Estándar y sus posibles extensiones. 1.5. Delimitantes de la investigación La presente investigación se delimita de la siguiente manera: teóricamente, se enfoca exclusivamente en el análisis del momento magnético anómalo del muón, es- pećıficamente en el contexto de extensiones del Modelo Estándar que contemplan la invarianza de escala. Se excluyen otras posibles extensiones o fenómenos ajenos a este estudio. Temporalmente, el estudio se circunscribe a datos y publicaciones disponibles hasta diciembre de 2023, proporcionando un marco espećıfico que no incluye investigaciones o descubrimientos posteriores a este periodo. Espacialmente, la investigación se centra en resultados obtenidos en experimentos y observaciones realizados en instalaciones de investigación reconocidas internacionalmente, como el Fermilab (por sus siglas en inglés, ‘Fermi National Accelerator Laboratory’) y el CERN (por sus siglas en inglés, ‘European Organization for Nuclear Research’). Finalmente, la investigación también está limitada por la disponibilidad y la fiabili- dad estad´ıstica de los datos experimentales relacionados con la medida del momento 7 magnético del muón, incluyendo limitaciones en precisión, alcance y actualización de los datos. 8 II. MARCO TEÓRICO 2.1. Antecedentes: Internacional y nacional La propuesta de utilizar modelos que extienden el Modelo Estándar, incorporan- do la simetr´ıa de escala como se plantea en este trabajo, para explicar el momento magnético anómalo del muón, representa un enfoque innovador. Dada la novedad de este enfoque, es comprensible la falta de referencias directas en la literatura exis- tente. Sin embargo, aunque no aplicadas al mismo problema, las siguientes referencias construyen el armazón teorico necesario para el presente estudio. 2.1.1. Antecedentes Internacionales Las siguientes referencias internacionales construyen las bases teóricas que per- miten las extensiones con invarianza de escala del Modelo Estándar. Sin embargo, dichos modelos son aplicados a diferentes escenarios y enfoques distintos al del pre- sente estudio. W. D. Goldberger et al. (2007): En este estudio [16], los autores consideran la posibilidad de que el bosón de Higgs pueda ser identificado como el bosón de Golds- tone de un sector ultravioleta aproximadamente conforme, es decir, con el dilatón. En este modelo, la quiebra espontánea del sector ultravioleta es el responsable de la quiebra espontánea electrodébil. Tanto este estudio como nuestra investigacion se basan en la exploración de la invarianza conforme para abordar fenómenos más allá del Modelo Estándar, des- tacando un interés compartido en esta simetŕıa y su potencial para explicar las propiedades fundamentales de las part´ıculas. A diferencia de Goldberger et al. [16], que vinculan la invarianza conforme con el sector del Higgs, nuestro enfoque se centra en cómo la invarianza conforme puede ser clave para entender el momento magnéti- co anómalo del muón, aplicando este principio teórico a un fenómeno distinto y espećıfico. B. Bellazzini et al. (2013): Los autores de Ref. [17] analizan la posibilidad de que la resonancia encontrada a la escala de 125 GeV corresponda con el dilatón. Los análisis se basan en datos del Gran Colisionador de Hadrones (LHC, por sus siglas en inglés, ‘Large Hadron Collider’). Uno de los desaf́ıos más dif́ıciles que enfrentan es mantener la masa del dilatón ligera en comparación con el cut-off de la teoŕıa efectiva. Al igual que en el estudio de Bellazzini et al. [17], nuestra investigación se centra en fenómenos f́ısicos observados en enerǵıas del orden de ∼ 125 GeV, utilizando datos experimentales del LHC. Ambos trabajos subrayan la importancia de nuevas part́ıculas, como el dilatón. Mientras que Bellazzini y colaboradores [17] exploran la identificación del dilatón a 125 GeV y los desaf́ıos asociados a mantener su masa ligera dentro de una teor´ıa efectiva, nuestro estudio se enfoca en las implicaciones de las extensiones conformes mı́nimas para el momento magnético anómalo del muón. 9 Z. Chacko et al. (2013): Este trabajo [18] se enfoca en escenarios donde la quiebra espontánea electrodébil es conducida por un sector que interacciona fuerte- mente en la region ultravioleta. Además, se muestra que la masa ligera del dilatón está asociada con la introducción de operadores marginales. Ellos también determi- nan la forma precisa de las interacciones entre el dilatón y las part́ıculas del Modelo Estándar. Asimismo, calculan las correcciones a dichas interacciones provenientes de efectos de violación de la simetŕıa conforme. Se demuestra que estas correcciones no tienen un impacto importante en la teor´ıa. De manera similar al trabajo de Chacko et al. [18], nuestro estudio se sitúa en el marco de la f́ısica más allá del Modelo Estándar, con un enfoque particular en la quiebra espontánea de simetŕıas y las interacciones en la región ultravioleta. Ambos exploramos las implicaciones de teor´ıas que incluyen sectores fuertemente interac- tuantes y su descripción a través de la simetŕıa conforme. Nuestra investigación se distingue por concentrarse en cómo las extensiones conformes mı́nimas pueden in- fluir en el momento magnético anómalo del muón, a diferencia de Chacko et al. [18], que se enfocan en la dinámica del dilatón y su interacción con las part́ıculas del Modelo Estándar. G. Marques Tavares et al. (2013): G. Marques Tavares et al. en Ref. [19] investigan la sensibilidad del bosón de Higgs a la escala asociada a la quiebra de la simetŕıa de invarianza de escala. El análisis se realiza a través de toy models (modelos de juguete) expl´ıcitos. Los autores encuentran que existe una sensibilidad por parte del bosón de Higgs, incluso en la ausencia de part́ıculas masivas asociadas a la escala de la quiebra de la simetr´ıa de escala. Similar a G. Marques Tavares et al. [19], nuestra investigación también se intere- sa en las consecuencias de la quiebra de simetŕıa, espećıficamente en la invarianza de escala, dentro del contexto de la f́ısica más allá del Modelo Estándar. Este en- foque compartido subraya la importancia de entender cómo las teoŕıas alternativas pueden ofrecer explicaciones a fenómenos no completamente resueltos por el Modelo Estándar. A diferencia del análisis centrado en la sensibilidad del bosón de Higgs realizado por Marques Tavares et al., nuestro estudio se enfoca en las extensiones conformes mı́nimas y su relevancia para explicar el momento magnético anómalo del muón. A. Ahmed et al. (2020): Los autores de este art´ıculo [20] analizan la posibilidad de un grado de libertad dilatónico a bajas enerǵıas como un primer signo de nueva f́ısica en los datos del LHC (por sus siglas en inglés, ‘Large Hadron Collider’). Se realiza un estudio detallado de la fenomenoloǵıa asociada a este bosón de Goldstone con masa en el rango de 10 a 300 GeV. Los casos analizados incluyen la mezcla del dilatón con el Higgs. Al igual que el estudio de A. Ahmed et al. [20], nuestra investigación aprovecha los datos del LHC para explorar indicadores de nueva f́ısica más allá del Modelo Estándar, destacando la relevancia de analisis detallados en rangos de enerǵıa es- pećıficos. La atención hacia grados de libertad no convencionales, como el dilatón, subraya un interés común en entender cómo nuevas part́ıculas pueden manifestarse dentro de experimentos de alta energ´ıa. Mientras que A. Ahmed et al. se concentran 10 en la fenomenoloǵıa del dilatón en un amplio rango de masas y su posible mez- cla con el bosón de Higgs, nuestra investigación se enfoca en las implicaciones de las extensiones conformes mı́nimas del Modelo Estándar para explicar el momento magnético anómalo del muón. Esto pone de manifiesto cómo, a pesar de partir de premisas similares relacionadas con la búsqueda de nueva f́ısica, cada estudio dirige su análisis hacia diferentes aspectos fenomenológicos. B. Abi et al. (2020): En el art´ıculo experimental [7], los autores presentan un calculo completo de la contribución de la dispersión de luz por luz hadrónica (HLbL, por sus siglas en inglés) al momento magnético anómalo del muón. Para este cálcu- lo se utiliza Cromodinámica Cuántica en la red y este trabajo incluye cálculos en volúmenes finitos e infinitos. Los resultados obtenidos muestran mejoras significati- vas en la precisión de las contribuciones HLbL, lo cual es crucial para entender las discrepancias observadas en el momento magnético del muón. A. Keshavarzi et al. (2021): En la referencia [10], de caracter experimental, los autores analizan las posibles contribuciones de la polarización del vaćıo hadrónico (HVP, por sus siglas en inglés) al momento magnético anómalo del muón. Utilizan enfoques basados en la Cromodinámica Cuántica y en la dispersión de datos expe- rimentales para mejorar la precisión de sus cálculos. Sus resultados revelan que la HVP tiene un impacto significativo en las predicciones del momento magnético del muón. 2.1.2. Antecedentes Nacionales Referencia nacional que estudia la relevancia de la simetr´ıa conforme y de escala en la f´ısica a escalas de energ´ıa alta. Sin embargo, a diferencia del presente estudio que se enfoca en un resultado experimental a energ´ıas actualmente reproducibles, la referencia hace hincapíe en un escenario a escalas de enerǵıa comparables a la de Planck ∼ 1019 GeV. F. Villegas Silva et al. (2009): En esta referencia, F. Villegas Silva et al. [21] hacen una introducción a la cuerda bosónica, la cual es descrita por la acción de Nambu-Goto. Un ingrediente principal dentro de esta formulación de la cuerda bosónica es la simetŕıa conforme. Se define y calcula la velocidad transversal de una cuerda cerrada. La investigación de F. Villegas Silva et al. [21] comparte con nuestro estudio el interés en la simetŕıa conforme, un concepto teórico fundamental tanto en la teoŕıa de cuerdas como en las extensiones conformes mı́nimas del Modelo Estándar. Este enfoque común resalta la importancia de la simetŕıa conforme en diversas ́areas de la f́ısica teórica. A pesar de este interés compartido en la simetŕıa conforme, nuestros objetivos de investigación divergen significativamente. Mientras que Villegas Silva et al. [21] se enfocan en la cuerda bosónica y aspectos espećıficos de su dinámica, como la velocidad transversal de cuerdas cerradas, nuestra investigación aplica la simetŕıa conforme al estudio del momento magnético anómalo del muón dentro del contexto del Modelo Estándar y sus extensiones. 11 2.2. Bases teóricas El tipo de modelos propuestos en este proyecto considera una extensión del Modelo Estándar donde la simetŕıa de escala emerge en la región ultravioleta (UV) de la teor´ıa. Es relevante mencionar que existen argumentos que sugieren que en cuatro dimensiones, la simetŕıa de escala, junto con la invarianza de Poincaré y la unitariedad de una teor´ıa, implican invarianza conforme [22–24]. Basados en esto, en lo que sigue por simplicidad asumiremos ambos conceptos como equivalentes. Estos modelos son empleados para intentar explicar la medida anómala del mo- mento magnético del muón (aµ). Dicha medida ha ganado relevancia en la comunidad cient́ıfica debido al incremento en el nivel de confianza de sus resultados. Según la última medida combinada, realizada en 2021 por la colaboracion Muon g − 2 del Fermilab (por sus siglas en inglés, ‘Fermi National Accelerator Laboratory’) [7], en conjunto con el valor reportado por la colaboración E821 en el Laboratorio Nacional de Brookhaven [8], la anomal´ıa se establece en ∆aµ = 251(59×) 10−11, con una desviación de 4.2σ respecto al Modelo Estándar [9–13]. La presente subsección 2.2 se organiza de la siguiente manera: en la subsubsec- ción 2.2.1 introducimos el Modelo Estándar y el mecanismo de quiebra espontánea de simetŕıa. En la subsubsección 2.2.2, nos enfocamos en el estudio de los lepto- nes, que son un tipo espećıfico de fermiones dentro del contenido de part́ıculas del Modelo Estándar; aqúı también discutimos el efecto de la quiebra de simetŕıa elec- trodébil en los leptones. La subsubsección 2.2.3 se dedica a medidas relacionadas con los muones, tales como su masa (mµ), tiempo de vida (τµ), y culmina con el momento magnético del muón (aµ). La subsubsección 2.2.4 aborda los detalles de la medida teórica y experimental de aµ. En la subsubsección 2.2.5, introducimos la invarianza conforme y de escala, y la construcción de lagrangianos invariantes sobre dichas transformaciones. Finalmente, en la subsubsección 2.2.7, comentamos sobre los posibles modelos que cumplen con los requisitos demandados, enfocándonos en los resultados del modelo m´ınimo por simplicidad. 2.2.1. El Modelo Estándar Durante la década de 1960, Weinberg, Salam y Glashow propusieron el modelo actual que describe y unifica tres de las cuatro fuerzas fundamentales que existen en la naturaleza, conocido como el Modelo Estándar. El Modelo Estándar de la F́ısica de Part́ıculas, o SM (por sus siglas en inglés, ‘Standard Model’), es una teoŕıa que describe las interacciones fundamentales entre las part´ıculas elementales que conforman el universo. Se trata de una de las teoŕıas más precisas y exitosas en la f́ısica contemporánea, probada y confirmada a través de numerosos experimentos. Se basa en la idea de que todas las part́ıculas elementales interactúan mediante cuatro fuerzas fundamentales: la fuerza electromagnética, la fuerza débil, la fuerza fuerte y la gravedad. Con la excepción de la gravedad, todas estas fuerzas se combinan en el Modelo Estándar para describir la naturaleza de las part́ıculas y sus interacciones. Este modelo se clasifica como una teor´ıa de gauge basada en el grupo de simetr´ıa SU (3)c × SU (2)L× U (1)Y . Esquemáticamente, el contenido de part́ıculas del Modelo Estándar se muestra en la Figura 1. En el Modelo Estándar, las part́ıculas elementales se clasifican en dos categoŕıas: 12 Figura 1: Contenido de part́ıculas dentro del Modelo Estándar. Los leptones son representados en color verde [1]. En primer lugar tenemos a los bosones, quienes poseen spin entero y que pueden ser transmisoras de las fuerzas entre las part´ıculas. En segundo lugar tenemos a los fermiones, quienes poseen spin semi entero y quienes suelen experimentan estas fuer- zas. Dentro del modelo estándar los bosones incluyen al fotón, el gluón G, el bosón W y el bosón Z, mientras que los fermiones incluyen los quarks, los leptones y sus antipart´ıculas correspondientes. Estas part´ıculas de diferentes estad´ısticas pueden observarse en la Figura 1. Adicionalmente, una de las predicciones más notables del Modelo Estándar es la existencia del bosón de Higgs, H , considerada una part́ıcula hipotética que, mediante el mecanismo de quiebra de simetr´ıa, otorga masa a las part´ıculas elementales. La base de este mecanismo es el potencial escalar asociado al campo de Higgs, el cual tiene la forma V (H) = µ2 |H|2 + λ |H|4 donde λ > 0. (1) El mecanismo de quiebra de simetr´ıa nos dice lo siguiente: mientras se cumpla la condición µ2 > 0 en la Ec.(1), el potencial tiene un único extremo, el cual resulta ser al mismo tiempo su m´ınimo global. Dicho m´ınimo toma el valor esperado de ⟨H⟩ = 0. (2) Bajo estas condiciones, la teor´ıa es aproximadamente invariante de escala, ya que el único término donde el coeficiente tiene dimensiones es el correspondiente al término cuadrático de V (H ). Es importante hacer notar que cuando se cumple la Ec.(2), el modelo continúa teniendo como grupo de simetŕıa a SU (2)L × U (1)Y . Sin embargo, cuando µ2 < 0, el potencial escalar del Higgs V (H) desarrolla más de un extremo, 13 Figura 2: El mecanismo de quiebra de simetr´ıa establece que, mientras se cumpla la condición µ2 > 0, el potencial tiene un único vaćıo de la teoŕıa cuyo valor es ⟨H ⟩= 0. Bajo estas condiciones, la teor´ıa es aproximadamente invariante en escala, donde el único término donde el coeficiente tiene dimensiones es el correspondiente al término cuadrático de V (H). Es importante hacer notar que cuando se cumple la Ec.(2), el modelo continúa teniendo SU (2)L × U (1)Y como grupo de simetŕıa. Sin embargo, cuando µ2 < 0, el potencial escalar del Higgs V (H) desarrolla más de un extremo, lo que conlleva a un valor de expectación de vaćıo diferente de cero, siendo ese el nuevo estado base de la teor´ıa. Un efecto importante que debe ser mencionado es el impacto en los grupos de simetŕıa del Modelo Estándar, ya que estos ya no son más el grupo SU (2)L × U (1)Y . La teoŕıa ahora disfruta de una simetŕıa diferente, asociada al grupo de gauge uniparamétrico del campo electromagnético U (1)EM. En la presente figura podemos visualizar un esquema de este patrón de quiebra de simetŕıa SU (2)L × U (1)Y → U (1)EM, en la literatura también se le suele llamar quiebra de simetŕıa electrodébil [2–4]. donde ahora el mı́nimo global ocurre para ⟨H⟩ = 0. De forma más concreta, el campo de Higgs desarrolla un valor de expectación de vaćıo (vev, por las siglas en inglés de vacuum expectation value ) diferente de cero, cuyo valor es ⟨H⟩ = 0√ , donde v = 246 GeV. (3) v/ 2 Siendo ese el nuevo estado base de la teor´ıa. Un efecto importante que debe ser men- cionado es el impacto en los grupos de simetŕıa del Modelo Estándar. Al momento en que el campo de Higgs adopta su nuevo vev, esto colapsa la estructura que man- teńıa invariante los términos de interacción donde este campo aparećıa, como por ejemplo, los términos de Yukawa. Debido a esto, el grupo SU (2)L × U (1)Y ya no es el grupo de simetr´ıa de la teor´ıa. Tras la quiebra, la teor´ıa disfruta de una simetr´ıa diferente, asociada al grupo de gauge uniparamétrico del campo electromagnético U (1)EM. En la Figura 2 podemos visualizar un esquema de este patrón de quiebra de simetr´ıa SU (2)L × U (1)Y → U (1)EM , en la literatura también se le suele llamar quiebra de simetŕıa electrodébil [2–4]. En 2012, se confirmó la existencia del bosón de Higgs a través de experimentos realizados en el Gran Colisionador de Hadrones (LHC por sus siglas en ingles, ‘Large 14 Figura 3: Medida del espectro de masa en el decaimiento H → ZZ∗ → 4 Leptons (lado izquierdo) y en el de dos fotones en H→γγ (lado derecho). La l´ınea roja representa el ajuste a los datos experimentales. En la figura está incluida la reso- nancia que representa al boson de Higgs y el fondo de datos experimentales. Éste fondo de datos proviene de las colisiones (no resonantes) protón protón, qq → ZZ∗ (lado izquierdo) y qq → γγ (lado derecho) [5]. Hadron Collider’) en el CERN (por sus siglas en ingles, ‘European Organization for Nuclear Research’) [25, 26]. Estos experimentos se basaron en la observación de la medida del espectro de masa en el decaimiento H → ZZ∗ → 4 Leptons (lado izquierdo en la Figura 3) y en el de dos fotones en H → γγ (lado derecho en la Figura 3). La l´ınea roja representa el ajuste a los datos experimentales. En los gráficos producidos por ambos decaimientos se puede observar claramente la resonancia representando al boson de Higgs, ademas también se observa el fondo de datos experimentales. Éste fondo de datos proviene de las colisiones (no resonantes) protón protón, qq → ZZ∗ (lado izquierdo en la Figura 3) y qq→ en la Figura 3). γγ (lado derecho A pesar de su indudable ́exito, el Modelo Estándar tiene limitaciones que han ido quedando más claras con el aumento de la precisión en los experimentos, los cuales son complementados con estudios teóricos más profundos. Esto nos lleva a una lista de problemas actuales que no pueden ser explicados de forma satisfactoria dentro del Modelo Estándar, sin requerir algún tipo de alteración en su formulación. Por ejemplo, algunos de los problemas más emblemáticos en la actualidad son: 1. La masa de los neutrinos, 2. La materia oscura, 3. El problema de jerarqu´ıa del Higgs, 4. El momento magnético anómalo del muón. 15 El problema de la masa de los neutrinos se basa en el hecho de que estas part´ıculas son consideradas no masivas dentro del Modelo Estándar, dado que darles masa ge- neraŕıa términos en la lagrangiana que quebraŕıan la invarianza de gauge del modelo. Sin embargo, observaciones de la tasa de neutrinos que llegan a la Tierra confirman un fenomeno denominado oscilacion de neutrinos. Este fenómeno indirectamente confirma que al menos dos de estos fermiones deben poseer masa. De una manera similar, observaciones cosmológicas apuntan a la existencia de un tipo de materia no bariónica, la cual no interacciona con los fotones del campo electromagnético (o interacciona de forma extremadamente débil), pero śı interac- ciona gravitacionalmente con la materia usual. La ausencia de campos en el Modelo Estándar que representen a este tipo de materia es una limitación más del modelo. El problema de la jerarqúıa del Higgs se basa en la observación de que correc- ciones cuánticas provenientes de la interacción del mismo con otras part́ıculas del Modelo Estandar vuelven su masa muy susceptible a la escala de energ´ıa, en par- ticular a las part́ıculas más pesadas como el quark top mtop = 170 GeV. Esto representa un problema pues, como se mencionó anteriormente, esta part́ıcula tiene una masa definida de forma precisa por los experimentos. Este problema teórico a su vez está ligado a un concepto conocido como naturalidad técnica, el cual, de forma simplificada, nos indica que la magnitud de las interacciones debe estar en órdenes comparables. Finalmente, el problema del momento magnético anómalo del muón ∆aµ, en el cual se centra el presente estudio [7–13]. Encontrar un modelo teórico que explique adecuadamente esta anomaĺıa para el muón es, por tanto, un punto de partida hacia modelos más complejos. Una posible medida anómala para el electrón ∆ae también es sugerida en la literatura y por los experimentos, aunque su confiabilidad aún es tema de debate. Por otro lado, el caso del tau ∆aτ seŕıa una predicción del modelo teórico que intenta explicar estas anomaĺıas. Una dificultad extra que aparece al momento de querer explicar estas anomaĺıas teóricamente es en el signo adecuado de cada una. Por ejemplo, la anomaĺıa es positiva para el caso del muón, aparentemente negativa para el electrón y de signo aún no definido para el tau [27]. Dado que un ingrediente fundamental en el presente estudio son los leptones del Modelo Estándar, en la siguiente subseccion nos enfocaremos en introducirlos en detalle. 2.2.2. Los leptones en el Modelo Estándar Los leptones son part́ıculas fundamentales del Modelo Estándar que pertenecen a la familia de los fermiones y no interactúan directamente con la fuerza fuerte. Estos se dividen en tres generaciones, cada una de estas generaciones posee dos campos (por esto son llamados dupletos): el electrón y el neutrino electrónico (e, νe), el muón y el neutrino muónico (µ, νµ), y el tauón y el neutrino tauónico (τ, ντ ). Dentro del Modelo Estándar, el sector de gauge correcto que describe el comportamiento de los leptones, antes de la quiebra de simetŕıa, es el grupo de gauge electrodébil SU (2)L × U (1)Y . De acuerdo a la evidencia experimental, los leptones se agrupan 16 µ Lepto n Masa Tiempo de Vida νe < 2 eV e− νµ 0.51 MeV < 0.19 MeV > 4.6 × 1026 años µ− ντ 105.65 MeV < 18.2 MeV 2.19 × 10−6 s τ − 1776.90 MeV 290.6 × 10−15 s Tabla 1: Propiedades de los leptones en el Modelo Estándar, masa y tiempo de vida [2, 15]. en dupletos de quiralidad izquierda, esto es l = νe , lµ = νµ , lτ = ντ . (4) e e µ τ L L L Donde el subindice L hace referencia expĺıcita a su quiralidad, pero además proviene de la aplicación del proyector de quiralidad izquierda (PL). Definimos el operador de proyección izquierda PL de la siguiente manera, siendo ψ un campo fermionico, una vez que este proyector es aplicado sobre el campo, el resultado deja solo la parte de ψ con quiralidad izquierda, esto es2: 1 − γ5 PLψ = ψ = ψ L. (5) 2 Hasta el momento del presente estudio, la evidencia experimental muestra que los neutrinos de mano derecha no existen en la naturaleza. Matemáticamente esto se refleja en la ausencia de componentes de mano derecha para los neutrinos de las tres generaciones mostrados en la Ec.(4). Sin embargo, los leptones cargados si tienen componentes de mano derecha, los cuales son representados como eR, µR, τR. (6) A diferencia de sus proyecciones izquierdas que forman dupletos, estas componentes derechas del campo son singletos bajo SU (2)L. Algunas de las propiedades de los leptones, tales como su masa y tiempo de vida están expresadas en la Tabla 1. La dinámica de los leptones en el Modelo Estándar se describe a través de la lagrangiana de los leptones, la cual es escrita como: Lleptones = ileD/ le + ilµD/ lµ + ilτ D/ lτ − yeleHeR − yµlµHµR − yτ lτ HτR + c.h., (7) donde l = l†γ0, D/ = γµ Dµ, γµ para µ = 0, 1, 2, 3, 4 son las matrices gamma de Dirac y c.h. son las siglas de conjugado hermitiano. En la Ec.(7) hemos usado los campos leptonicos definidos en las Ecs.(4), (6) y el campo escalar del Higgs introducido en la Ec.(1). Adicionalmente, en la ecuacion (7) se ha introducido la derivada covariante Dµ, definida como: Dµ = ∂µ − igJY Bµ − igTaWa, (8) 2Como es usual γ5 denota a la quinta matriz de Dirac. 17 µ µ masa e L µ L τ L e donde ∂µ es la derivada partial en cuatro dimensiones, gJ y Bµ están asociadas al grupo de gauge abeliano U (1)Y , mientras que g y Wa al grupo de gauge no abeliano SU (2)L. Los parámetros gJ y g son conocidos como constantes de acoplamiento. Cabe mencionar que Y es la hipercarga, y Ta son las matrices de Pauli T 1 = 0 1 , T 2 = 0 −i , T 3 = 1 0 . (9) 1 0 i 0 0 −1 Después de la quiebra de simetŕıa SU (2)L × U (1)Y → U (1)EM los bosones vectoriales Bµ y Wa (a = 1, 2, 3) se combinan para dar lugar a los campos vectoriales masivos Z y W ±, as´ı como al campo vectorial no masivo Aµ asociado al grupo de gauge abeliano U (1)EM el cual da lugar a la interacción electromagnética. En la misma Ec.(7) los términos yi (donde i = e, µ, τ ) son los acoplamientos de Yukawa que parametrizan la interacción entre los leptones y el campo de Higgs. Estos términos son los responsables de la masa de los fermiones luego de la quiebra de simetŕıa. La generación de la masa de los leptones cargados es un resultado importante como efecto de la quiebra de simetŕıa electrodébil. De la Ec.(7), y usando las Ecs.(3) y (4), observamos que son generados los términos de masa para los leptones cargados e, µ, y τ . Veamos esto en mayor detalle, consideremos el primer término de Yukawa de la Ec.(7), tenemos yeleHe Quiebra de simetŕıa R −−−−− −−−−− −−−→ y √ v eLe R, (10) SU (2) L×U (1) Y →U (1)EM 2 donde el término en paréntesis a la derecha representa la masa del electrón en la lagrangiana. En otras palabras, tenemos la siguiente identificación v me = ye √ . (11) 2 De forma similar se generan los términos de masa para los otros dos leptones cargados mµ y mτ . Según los calculos experimentales más recientes de sus masas (ver Tabla 1) [15] y el valor de expectación del Higgs v = 246 GeV, es factible obtener un valor númerico para los acoplamientos de Yukawa leptónicos ye = 0.294 × 10−7, yµ = 0.607 × 10−3 y yτ = 0.102 × 10−1. (12) De esta manera la parte de la lagrangiana que contiene los términos masivos queda descrita por la lagrangiana L leptones = −m e e – m µ µ – m τ τ + c.h. (13) También es importante indicar que luego de la quiebra de simetŕıa electrodébil te- nemos una parte de la lagrangiana que describe la interacción de los leptones con el campo electromagnético. Este sector se escribe como EM+leptones 1 µν µ Linteracción = − FµνF + ψiγ Dµψ (14) 4 donde Fµν es el tensor de campo electromagnético. Este tensor es definido como Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. (15) R R R 18 L L L masa interaccioń Cabe mencionar que en la Ec.(14), ψ representa a cualquiera de los leptones cargados e, µ o τ . Adicionalmente, en la Ec.(14), la derivada covariante es definida como Dµ = ∂µ − ieAµ. (16) De esta forma, luego de la quiebra espóntanea de simetŕıa electrodébil, la lagran- giana para los leptones del Modelo Estándar es entonces la suma de las lagrangianas de masa y de interacción: leptones EM+leptones leptones = masa + interacción , (17) donde Lleptones EM+leptones interacción se definen por medio de las ecuaciones (13), y (14), respectivamente. Es importante notar también que la parte dinámica de los leptones esta siendo considerado dentro de la lagrangianaL EM+leptones. Dada la finalidad del presente estudio, en la siguiente subsección nos enfocaremos en las caracteŕısticas de un tipo particular de lepton, en el muón (µ). 2.2.3. Bases experimentales y teóricas de los muones Los muones son part´ıculas elementales que junto con su neutrino asociado (νµ) pertenecen a la segunda generación de leptones del Modelo Estándar. Aśımismo, sus componentes de quiralidad izquierda forman el dupleto lµ, definido previamente en la Ec.(4) de la subsección 2.2.2. Como tal, el muón es un fermión y posee carga eĺectrica negativa (correspondientemente su antipart́ıcula posee carga positiva µ+). A pesar de ser similar al electrón en muchos aspectos, como por ejemplo pertenecer al mismo tipo de fermiones, poseer la misma carga, etc, el muón tiene una masa que es aproximadamente 207 veces la masa del electrón [15]: mµ ≈ 207me ≈ 105.7 MeV (18) Correspondientemente esto la hace una candidata más susceptible a fenómenos hadrónicos y posiblemente a nueva f́ısica. Historicamente los muones fueron descubiertos en 1936 por Carl D. Anderson y Seth H. Neddermeyer durante su estudio de la radiación cósmica [28]. Inicialmente, debido a su masa, se pensó que los muones podŕıan ser los mesotrones (ahora cono- cidos como piones), las part´ıculas que Hideki Yukawa hab´ıa propuesto en 1935 para explicar la fuerza nuclear fuerte [29]. No obstante, más tarde se comprobó que los muones no participan en interacciones nucleares fuertes, sino que son miembros de la familia de leptones y participan de la interacción débil. La radiación cósmica en forma de rayos cósmicos viene siendo una de las fuentes principales de muones. Los rayos cósmicos son part́ıculas de alta enerǵıa, principal- mente protones, que bombardean continuamente la Tierra desde el espacio exterior. Al entrar en la atmósfera de la Tierra, estos rayos cósmicos interactúan con las moléculas de nitrógeno y ox́ıgeno en la atmósfera para producir una cascada de part́ıculas secundarias. Este fenómeno es conocido como “lluvia de part́ıculas”, o “cascada aérea”. La lluvia de part́ıculas se desarrolla a través de una serie de decaimientos, ver Fig.4 [6]. El primer paso en la cascada aérea, involucra una interacción nuclear entre y L 19 Figura 4: Los muones producidos en la atmósfera pueden viajar distancias signi- ficativamente mayores a esta estimación debido a su alta velocidad y al efecto de dilatación temporal de la relatividad especial de Einstein [6]. un protón del rayo cósmico y un núcleo de la atmósfera. Esta interacción puede producir varias part́ıculas, pero una de las más importantes para nuestra discusión es el pión, que puede ser cargado (piones π+ y π−) o neutral (π0). El pión cargado (π+ o π−) puede decaer en un muón (µ+ o µ−) y su neutrino (o antineutrino), a través del proceso (ver Figura 4): π+ → µ+ + νµ (19) El muón producido también es inestable y su decamiento da lugar a un positrón (o electrón), un antineutrino muónico y un neutrino electrónico (o antineutrino electrónico), como se muestra en el siguiente proceso [30] (ver Figura 4): µ+ → e+ + νe + νµ (20) Estos muones son la principal fuente de muones detectados en la superficie de la Tierra. 20 µ µ Los muones son inestables y decaen rapidamente a través de la interacción débil, teniendo una vida media de aproximadamente 2.2 × 10−6 segundos [15]: τµ ≈ 2.2 × 10−6 s. (21) Es dif́ıcil calcular la velocidad media de un muón proveniente de los rayos cósmicos. Sin embargo, es estimado que estos viajan aproximadamente a un vµ = 99.995 % de la velocidad de la luz c = 299, 792, 458 m/s [15, 31]. Debido a esto, los muones en principio no debeŕıan alcanzar la superficie de la tierra sin decaer. Una rápida estimación nos arroja que tan solo debeŕıan viajar unos d̄µ = vµ.τµ ≈ 0.66 km. (22) Sin embargo, los muones producidos en la atmósfera pueden viajar distancias sig- nificativamente mayores a esta estimación inocente, debido a su alta velocidad y al efecto de dilatación temporal de la relatividad especial de Einstein. Según la relativi- dad especial, para un muón viajando a una velocidad vµ, cerca de la velocidad de la luz c, la vida media medida medida en el sistema de laboratorio τJ está relacionada con la vida media en reposo τµ por la fórmula: τ J = γ τµ (23) q donde γ = 1/ 1 − v2 µ/c2 es el factor de Lorentz. Considerando esto, podemos ver que el efecto de dilatación temporal permite a los muones viajar distancias mucho mayores de lo que sugerir´ıa su vida media en reposo. Para el valor de la velocidad media de los muones vµ se encuentra un valor de γ ≈ 100, lo que nos da una distancia estimada en d̄µ = 66 km, (24) lo que explica su detección en la superficie de la tierra. Actualmente el estudio de los muones es crucial en la busqueda de f́ısica más allá del Modelo Estándar. Como se comentó en la introducción de los experimentos más destacados son los que miden el momento magnético del muón [32]. Este valor experimental se compara con las predicciones teóricas del Modelo Estándar para probar su consistencia y buscar posibles desviaciones que indiquen nueva f́ısica más allá del Modelo Estándar [33]. 2.2.4. El momento magnético anómalo del muón La descripción de la interacción de una part́ıcula puntual de spin 1/2 con un campo magnético externo en el marco de la mecánica cuántica relativista queda a cargo de la ecuación de Dirac. Esta ecuación diferencial matricial de primer orden se deriva al combinar la relatividad especial con la mecánica cuántica, y se escribe como: (ikγµ∂µ − mlc)ψ = 0, (25) donde k = 1.054571817×10−34 J s es la constante reducida de Planck [15], y ml es la masa del fermión. Para incorporar la interacción con un campo electromagnético ex- terno, introducimos el principio de acoplamiento m´ınimo, que reemplaza la derivada 21 1 i 2m parcial por la derivada covariante en presencia de un campo electromagnético: ∂ → ∂ + iel A , (26) µ µ kc µ donde Aµ = (A0, A) es el cuadripotencial electromagnético y el es la carga de la part́ıcula. Al aplicar el principio de acomplamiento mı́nimo a la ecuación de Dirac, se obtiene: (ikγµ(∂µ + iel A kc µ ) − mlc)ψ = 0. (27) Ahora, multiplicando por γ0 y reordenando los términos de forma pertinente, la ecuacion (27) toma la forma: ik ∂ψ h = c α · −ik∇ − el i A + βm lc2 + e lA 0 ψ, (28) ∂t c donde α = γ0γ, β = γ0 y ∇ es el operador diferecial en tres dimensiones nabla. En el ĺımite no relativista, la ecuación de Dirac puede aproximarse a la ecuación de Schrödinger. Expandiendo hasta el orden 1/c2, la ecuacion resultante es: ∂ψ (−ik∇ − el A) 2 elk ik ∂t = c — 2ml 2mlc σ · B + elA0 ψ. (29) En esta expresión, σ son las matrices de Pauli y B = ∇× A es el campo magnético. Podemos observar que el segundo término de la Ec.(29) nos proporciona la interac- cion entre la part́ıcula puntual y el campo magnético B. Con base en la forma de esta interaccioon definimos el momento magnético de un fermión como M = g el S, donde S = k σ. (30) s l 2mlc 2 Entonces, de esta definición dada en la Ec.(30) concluimos que gl = 2, para l = e, µ, τ. (31) donde gl es el conocido como el factor de Landé. Podemos observar que la ecua- ción (31) no distingue entre los distintos sabores de los leptones l. Cuando vamos hacia el terreno de la teor´ıa cuantica de campos, esta respuesta a un campo electro- magnético externo se encuentra analizando los elementos de la matriz de la corriente electromagnética ⟨l(pJ) |J ρ(0)| l(p)⟩ = u(pJ )Γρ(pJ, p)u(p), siendo Γρ(pJ, p) = F (k2)γρ + i F (k2)σρνk l — F (k 2)γ σ ρνk + F (k )2(k γ2 ρ− 2m k )ργ 1 2 ν 3 5 ν 4 l 5 (32) donde al nivel de árbol en la prescripcion del acoplamiento mı́nimo se tiene F ́arbol(k2) = 1 y F ́arbol(k2) = 0, i = 2, 3, 4. Ir más allá del acoplamiento mı́nimo implica la rede- finición de la corriente Jρ, Ĵ = J — k a ∂µ ψσ ψ − k dl ∂µ ψiγ σ ψ (33) ρ ρ 2ml l µρ el 5 µρ 22 µ en esta prescripción más allá del acoplamiento mı́nimo se tiene F̂ árbol(k2) = 1, 2 3 4 1 Fr̂éalarbtoilv(iks2t)a =anáal,oFĝáarbaoll(ak2E)c=.(2d8)/ees y F̂ árbol(k2) = 0. En esta prescripción la ecuacion l l l ∂ψ h el ik = c α · −ik∇ − A + βm c2 + e A ∂t c l l 0 el k + 2ml al β (i α · E − Σ · B) − k dl β (Σ · E + iα · B) ψ (34) y su l´ımite no relativista similar a la Ec.(29) es ∂ψ ik = ∂t (−ik∇ − (el/c)A)2 2ml elk — (1 + a ) σ · B − k d σ · E + e A + . . . ψ 2ml c l l l 0 (35) Analizando el segundo término del lado derecho de la Ec.(35), observamos que el resultado diverge del encontrado a través del uso de la Ec.(29). El parámetro al pasa a contener las contribuciones que generan estas diferencias. Por lo tanto, comparando las ecuaciones (29) y (35) encontramos gl = 2(1 + al) → al = gl − 2 2 . (36) en el caso particular del muón l = µ, tenemos a la cantidad aµ que es conocida como el momento magnético anómalo del muón. En general, el cálculo teórico de al es extremadamente complicado, ya que implica tener en cuenta muchos efectos y correcciones cuánticas. Estos efectos incluyen la correccion del vaćıo, la polarizacion del vaćıo, los lazos de autoenerǵıa y los lazos de fotones virtuales. El cálculo también depende de la masa del leptón, la constante de acoplamiento electrodébil y la constante de estructura fina. Podemos dividir las contribuciones al cálculo de al de la siguiente forma al = aQED + ahadr + aweak, (37) l l l donde aQED representa a las contribuciones provenientes de la electrodinámica cuánti- l ca, ahadr a las contribuciones del sector hadrónico, y finalmente aweak a las contribu- l l ciones del sector electrodébil. Algunos de los diagramas de Feynman que contibuyen al valor de al son mostrados en la Fig.5. El valor teórico más preciso para aµ se ha calculado utilizando la teoŕıa cuántica de campos y una variedad de técnicas numéri- cas. El cálculo más reciente de 2021 que se ha realizado involucrando técnicas de red nos da: ateo = (11659181.8 ± 4.9) × 10−10. (38) Desde hace ya varios años se han llevado a cabo numerosos experimentos para medir el valor del momento magnético anómalo del muón (aµ) con mayor precisión y aśı entender mejor la discrepancia existente entre las predicciones teóricas del Modelo Estándar y los resultados experimentales, ver Tabla 2. El valor actualmente aceptado de aµ se mide con una precisión muy alta en experimentos en el Fermilab 23 µ (a) (b) (c) Figura 5: Algunos de los diagramas de Feynman que contibuyen al valor de al. (a) Nos muestra algunas contribuciones provenientes del sector de la QED. La l´ınea ondeada representa al propagador del fotón Aµ. (b) Contribuciones hadrónicas o nucleares. El circulo pintado de rojo representa las muchas contribuciones pertenecientes al sector fuerte. (c) Contribuciones del sector débil provenientes de bucles formados por los bosones Z, W ±, H y (en el gráfico central) un neutrino muónico νµ. (por sus siglas en ingles ‘Fermi National Accelerator Laboratory’) y el CERN (por sus siglas en ingles, ‘European Organization for Nuclear Research’). Una de las medidas más precisas disponible es la que se realizó en el experimento E821 en el Brookhaven National Laboratory [8], que encontró: aexp = (11659208.0 ± 6.3) × 10−10. (39) Adicionalmente la colaboracion Muon g− 2 del Fermi National Accelerator La- boratory (FNAL) es uno de los experimentos más destacados en este campo [7]. El experimento Muon g − 2 en el FNAL se inspira en el exitoso experimento E821 del Brookhaven National Laboratory [8]. El experimento Muon g − 2 mide aµ mediante el almacenamiento de muones en un anillo de almacenamiento magnético (ver Fig.7) y la observación de la precesión de su esṕın ω→ ≡ ω→ — ω→ = − q " # a B→ − a γ (β→ · B→ )β→ − a — 1 β→ × E→ 24 a s c µ µ µ 2 (40) mµ γ + 1 γ – 1 c 25 µ Figura 6: La última medida combinada que fue realizada en el 2021 por la cola- boracion Muon g−2 del Fermilab (por las siglas de ‘Fermi National Accelerator Laboratory’) [7] en conjunto con el valor reportado por la colaboración E821 en el Laboratorio Nacional de Brookhaven [8], arroja un valor de ∆aµ = 251(59×) 10−11 para la anomaĺıa del momento magnético del muón con una desviación de 4.2σ del Modelo Estándar [9–13]. La precesión de esṕın de los muones en un campo magnético está relacionada con su momento magnético anomalo a través de la relación ω = gµ − 2 · e · B, (41) a 2 mµ donde ωa es la frecuencia de precesión anomala, gµ es el factor g del muon, e es la carga elemental, mµ es la masa del muon y B es el campo magnético aplicado. En 2021, el experimento Muon g − 2 en FNAL publicó sus resultados preliminares, mos- trando una medición del momento magnético anómalo del muon con una precisión de 0.46 ppm [7]. El valor experimental reportado fue aexp = 116 592 040(54) × 10−11, (42) lo que confirmó la discrepancia observada en el experimento BNL y aumentó su significancia estad´ıstica. La diferencia entre el valor experimental y el valor teórico se conoce como la anomaĺıa del muón, y actualmente la última medida combinada que fue realizada en el 2021 por la colaboración Muon g − 2 del Fermilab (por sus siglas en ingles ‘Fermi National Accelerator Laboratory’) [7] en conjunto con el valor reportado por la colaboración E821 en el Laboratorio Nacional de Brookhaven [8], arroja un valor 26 µ µ Figura 7: El experimento de la colaboracion Muon g− 2 mide aµ mediante el alma- cenamiento de muones en un anillo de almacenamiento magnético y la observación de la precesión ωa de su esṕın [7]. de ∆aµ = aexp − aSM = 251(59) × 10−11, (43) para la anomaĺıa del momento magnético del muón. Considerandose una desviación del Modelo Estándar de 4.2σ [9–13]. Además del experimento de la colaboración g − 2 en FNAL [7] o la colaboración E821 en el Laboratorio Nacional de Brookhaven [8], se están llevando a cabo otros experimentos para medir el momento magnético anómalo del muon, ver Tabla 2. Por ejemplo, el experimento J-PARC E34 en Japón utiliza un método de almacenamien- to de muones diferente, basado en un anillo de almacenamiento de radiofrecuencia de dos haces, y se espera que proporcione resultados en los próximos años [34]. Asi- mismo, el estudio de los muones y sus propiedades también ha permitido también la realización de experimentos de oscilación de neutrinos, como el experimento MINOS, que utiliza haces de neutrinos muónicos para investigar la oscilación de neutrinos y medir las diferencias de masa entre los diferentes tipos de neutrinos [35]. Hay varias teor´ıas que proponen explicaciones para la discrepancia entre el valor experimental y teórico del momento magnético anómalo del muón reportado en la Ec.(43). Una posible explicación es que hay nuevas part́ıculas aún no descubiertas que interactúan con el muón de una manera que no está prevista por el Modelo Estándar. Esto conlleva a la posibilidad de la existencia de nuevas simetŕıas más allá de las planteadas por el Modelo Estándar, y que una forma de su manifestación a bajas enerǵıas sea esta discrepancia en los valores teóricos y experimentales del momento magnético del muón. En lo que sigue exploraremos estos caminos, donde la simetŕıa de escala o conforme será introducida. 27 0 . Experimento Cita Valor de aµ Lugar Año Duración Resumen Limitaciones CERN I [8] 116 592 089(63) × 10−11 Frontera entre Francia y Suiza 1965 Varios Mide aµ Limitaciones CERN II [8] 116 592 089(63) × 10−11 Frontera entre Francia y Suiza 1974 Varios Mide aµ Limitaciones CERN III [8] 116 592 089(63) × 10−11 Frontera entre Francia y Suiza 1978 Varios Mide aµ Limitaciones E821 (BNL) [8] 116 592 089(63) × 10−11 EE. UU, Brookhaven National Laboratory. 2006 Varios años Mide aµ observando la precesión de esp´ın de muones en un anillo de almace- namiento magnético Limitaciones en la preci- sion de las técnicas de medición y en la intensidad de los haces de muones g-2 (FNAL) [7] 116 592 040(54) × 10−11 EE. UU, Fermi National Accelerator Laboratory. 2021 En curso Continuación del experi- mento E821 en BNL, con mejoras en la precisión y el control de los haces de muones Mejoras en la precisión y control de los haces, pero aún existe incertidum- bre en las predicciones teoricas J-PARC E34 [34] - Japón, Japan Proton Accelerator Research Complex. En curso En curso Utiliza un método de almacena- miento de muones dife- rente basado en un anillo de almace- namiento de radiofrecuen- cia de dos haces Aún no se han publicado re- sultados. Tabla 2: Experimentos pasados y futuros que han medido (o medirán) el momento magnético anómalo del muón de forma directa o indirecta. 2.2.5. Simetŕıas Conforme y de Escala Como hemos visto en las subsecciones anteriores, las simetr´ıas juegan un rol muy importante en la construcción del Modelo Estándar de la f́ısica de part́ıculas. Por ejemplo, en la subsección 2.2.1 se hace énfasis en el grupo de simetŕıa SU (3)c × SU (2)L × U (1)Y , el cual es un grupo de simetr´ıas internas del modelo. Por ejemplo, el grupo de simetr´ıa de color SU (3)c, el cual es asociado a las interacciones fuertes puede considerarse como formado por las transformaciones en un espacio vectorial tridimensional llamado espacio de color. En este espacio interno, los quarks pueden ser representados por los vectores columna 1 0 0 qrojo = 0 , qverde = 1 , qazul = 0 0 1 (44) En forma análoga existen tambíen las simetŕıas espacio-temporales. Estas son aque- llas transformaciones en las variables espacio- temporales que dejan invariante el sistema. Estas simetr´ıas espacio-temporales son importantes pues dado el teorema de Noether, se asocia estas simetŕıas con determinadas leyes de conservación. Anali- cemos más en detalle estas siemtŕıas espacio-temporales. Por simplicidad el siguiente análisis será realizado en un espacio euclideano, aunque las conclusiones podrán ser extrapoladas al espacio-tiempo de Minkowski sin perdida de generalidad3. Empezamos considerando el espacio Rp,q (donde d = p + q es la dimensión total) con la métrica plana gµν = ηµν . En este espacio construimos el elemento de ĺınea ds2 = gµνdxµdxν y analizamos cómo la métrica gµν se transforma bajo un cambio 3 Puede considerarse que el análisis se realiza habiendo realizado una rotación de Wick t → i t. 28 µν µ µν de coordenadas x → xJ. Tenemos J J ∂xα ∂xβ gµν (x ) = ∂xJµ ∂xJν gαβ(x) (45) Por otro lado, definimos el grupo conforme como el subgrupo de transformaciones de coordenadas que deja la métrica invariante, hasta un cambio de escala tal como J (x) = Ω(x) gµν(x) (46) Estas transformaciones preservan el ángulo entre dos vectores. Por ejemplo, en el caso de dos vectores v y w que pertenecen a un Espacio Vectorial Eucl´ıdeo de dimensión finita V, sabemos por el Cálculo que v · w θ = arc cos (v2w2)1/2 . (47) A partir de esta ecuacion es fácil ver que el ángulo θ dado por la ecuación (47) se conserva. De acuerdo con la definición del producto escalar v ·w = gµνvµwν , tenemos (v · w)J θJ = arc cos 1/2 (v2w2)J ! gJ vµwν = arc cos µν (Ω(x)2v2w2)1/2 (48) ! = arc cos = θ. Ω(x)gµνvµwν Ω(x) (v2w2)1/2 Ahora, utilizando Ω(x) = 1, en la Ec.(46), llegamos a la métrica invariante gJ (xJ) = gµν(x). De esta manera, encontramos que el grupo de Poincaré4 es un subgrupo del grupo conforme. Para encontrar una expresion cerrada para los generadores del gru- po conforme, primero analizamos la transformación de coordenadas infinitesimales xµ → xJ + εµ. Si se sustituye en la Ec.(45) junto con la definición del elemento de l´ınea ds2, obtenemos ds2 −→ dsJ2 = ds2 + (∂µεν + ∂νεµ) dxµdxν. (49) Por lo tanto, si queremos una expresión que obedezca la invariancia conforme dada por la ec.(46), necesitamos que el segundo término en la ec.(49) sea proporcional al elemento de l´ınea ds2. Esto se logra si tenemos ∂νεµ = k ηµν. (50) donde k es un escalar a ser determinado. Con este fin, multiplicamos la Ec.(50) por ηµν como sigue, ηµν [∂µεν + ∂νεµ] = kηµνηµν 2(∂.ε) = k(d) 2(∂.ε) k = . d 4Grupo de Poincaré = Traslaciones ⊗ Transformaciones de Lorentz. (51) g 29 ν De esta forma la Ec.(50) puede ser escrita como, 2(∂.ε) ∂νεµ = ηµν. (52) d Para nuestros propósitos, la Ec.(52) debeŕıa ser reescrita en una forma más conve- niente. La computamos expĺıcitamente a continuación, ∂µ∂µ [d∂µεν + d∂νεµ] = ∂µ∂µ [(∂.ε)ηµν + (∂.ε)ηµν] 2∂µ∂µnµν (∂.ε) = nµν Q(∂.ε) + d∂µ∂ν (∂.ε) donde hemos utilizado que ηµνηµν = d. Finalmente, obtenemos (53) (ηµνQ + (d − 2)∂µ∂ν) (∂ · ε) = 0. (54) Las ecuaciones (54) o (52) se denominan la condición para la localidad conforme. Analicemos el caso general d > 2 en la condición de localidad conforme5. No es dif´ıcil ver que si d > 2, hay derivadas terceras aplicadas sobre ε. Por lo tanto, para mantener la Ec.(54), requerimos que ε sea como máximo una expresión cuadrática en xµ. De esta manera, es usual clasificar estas diferentes expresiones de ε en cuatro partes. Definiendo dos vectores constantes arbitrarios aµ, bµ y una constante λ, escribimos esta clasificación como: 1. Traslaciones: εµ = aµ, de orden cero en xµ, 2. Rotaciones: εµ = wµxν, de primer orden en xµ, 3. Transformaciones de escala: εµ = λxµ, de primer orden en xµ, 4. Transformaciones conformes especiales: εµ = bµx2 − 2xµ(b · x), de segundo orden en xµ. Estas cuatro transformaciones dan origen al llamado grupo conforme. Entonces, adicionalmente a las transformaciones del grupo de Poincaré conside- raremos dos transformaciones extras. Estas dos transformaciones son las transfor- maciones especiales conformes y las dilataciones: xµ + x2 bµ Transformaciones Especiales Conforme : xµ → 1 + 2 x · b + x2 b2 , (55) Dilataciones : xµ → eλ xµ, (56) con generadores Kµ y D, respectivamente. Las dilataciones, también llamadas trans- formaciones de escala, escalamiento o rescalamiento, son aquellas que involucran un cambio global en las coordenadas xµ de un sistema. Por otro lado, las transforma- ciones especiales conformes geometricamente son aquellas transformaciones sobre dos vectores que dejan invariante el ángulo entre ellos. De esta forma, a parte de 5De la Ec.(52) vemos que el caso d = 2, requiere un tratamiento especial. Puesto que no es la finalidad del presente estudio, no trataremos este caso. 30 los conmutadores asociados a los generadores del grupo de Poincaré, tenemos seis relaciones de conmutacion extras, estas son [36] [D, Pµ] = −i Pµ, [D, Mµν] = 0, [D, Kµ] [Kµ, Pν] = i Kµ, = −2i (gµν D + Mµν) , [Kµ, Kν] = 0, [Kρ, Mµν] = i (gρµ Kν − gρν Kµ) , (57) donde, como es usual, Pµ es el generador de las traslaciones espacio-temporales y Mµν conteniendo los generadores del grupo de Lorentz. Considerando un campo Φ de spin arbitrario el cual se transforma bajo dilataciones Ec.(56) según [37] Φ(x) → eλ ∆Φ Φ(eλ x). (58) Las correspondientes transformaciones infinitesimales de Φ bajo escala y transfor- maciones especiales conformes son δΦ = (xµ∂µ + ∆Φ) Φ, (59) δµΦ = 2 xµ xν − ηµν x2 ∂ν + 2 xµ∆Φ + 2 xν Sµν Φ, (60) donde ∆Φ es llamado peso conforme. Sµν es llamada matriz de spin, y dependiendo de la naturaleza del campo puede toma las siguientes formas: Spin 0, Sµν = 0, (61) 1 Spin 1/2, Sµν = 4 [γµ, γν] , (62) Spin 1, SµνAρ = (gµρAν − gνρAµ) . (63) Para que la acción sea invariante bajo transformaciones de escala se requiere que el cambio en la lagrangiana pueda ser reexpresado como una derivada total. Teniendo en cuenta esto, junto con la Ec.(59), tenemos [38] δL = 4 L + xµ ∂µL = ∂µ (xµ L) . (64) Esta condición es satisfecha si todos los acoplamientos tienen dimensión de masa cero. Una consecuencia es la prohibición de términos de masa en la lagrangiana. Junto con la Ec.(64), Callan, Coleman y Jackiw establecieron una condición extra que garantiza la existencia de una corriente conservada cuya carga asociada genera transformaciones de escala. Esta condición es: Σ ∂L η i ∂ (∂µΦi) νµ ∆Φi + (Sνµ )i Φi = ∂µκνµ, (65) donde κµν es un tensor que depende de la estructura particular de la lagrangiana. Callan, Coleman y Jackiw también mostraron que la condición dada por la Ec.(65) garantiza la existencia de una corriente conservada Cµν cuya carga asociada gene- ra transformaciones especiales conformes. Por lo tanto, la condición dada por las 31 . Ecs.(64) y (65) son condiciones necesarias y suficientes para asegurar la invarianza conforme de la lagrangiana. En forma análoga a las teoŕıas de gauge, promovemos la derivada usual, a una derivada covariante bajo transformaciones conformes. Dicha derivada es escrita como 1 DµΦ = ∂µ — f (ηνµ ∆Φ + Sνµ ) ∂νφ Φ (66) y que tiene peso conforme ∆Φ − 1. En Ec.(66), se introdujo un nuevo campo escalar φ(x). Dicho campo transforma de forma no lineal bajo reescalamientos ∂ xJ φJ(xJ) = φ(x) + f log .d. et . , (67) ∂ x donde φ(x) es conocido como campo dilatonico o simplemente dilaton. De la Ec.(67), observamos que bajo la transformacion x → e−λ x, obtenemos eφ′(x′)/f = eλ eφ(x)/f . (68) De esta forma podemos definir el campo de spin cero χ = eφ(x)/f (69) con peso conforme ∆χ = 1. Una implicación importante de la introducción del campo χ, es que ahora tambíen podemos construir términos en la lagrangiana con acopla- mientos dimensionales. Por ejemplo, para un campo escalar y fermionico arbitrario, Φ and Ψ respectivamente, tenemos L ⊃ − M 2 Φ2 χ2 — m Ψ Ψ χ. (70) Es por este motivo que el campo χ es también conocido como “compensador con- forme”. De una forma más general podemos extender la transformación dada en la Ec.(58) para operadores arbitrariosO(x) con un peso conforme ∆O. Entonces, bajo la trans- formación de escala, en el caso general tenemos O(x) → eλ ∆ O(eλ x). (71) Anali∫cemos ahora cúal es el cambio que esta transformacion produce en la acción S = d4x L, donde Σ L = gi(µ) Oi(x). (72) i Podemos escribir dicho cambio en la siguiente forma S = Σ ∫ d4xgi Oi(x) → SJ = Σ ∫ d4xeλ (∆i−4) gi Oi(x). (73) i i 2 32 4 La versión infinitesimal de la Ec.(73) es escrita como Σ ∫ S → S + i Σ ∫ d4xλg i(∆i — 4) Oi (x) + i ∂ d xβ i(g) ∂g i L. (74) donde hemos tomado en consideración la evolución con la escala de enerǵıa de los acoplamientos. En la Ec.(74) podemos ver que para los pesos conformes ∆i = 4 y para una función βi(g) = 0 , la invarianza de escala se mantiene. Mientras que en el primer caso hablamos de una invarianza de escala a nivel clásico, en el segundo caso hablamos de que la invarianza de escala persiste aún en el régimen cuántico. Enfocándonos en el nivel clásico, el resultado ∆i = 4 es la familiar conclusión de que la simetŕıa de escala se preserva con operadores de dimensión conforme 4. Es importante resaltar que incluso preservándose la simetŕıa de escala en los operadores de dimensión 4, debido al efecto de la evolucion de los acoplamientos al ir de las regiones de mayor enerǵıa a las de menos enerǵıa, esta invarianza podŕıa quebrarse. Esto es una consecuencia directa de la propia evolución de la función beta. La asunción general es que una teoŕıa dada es invariante de escala a altas enerǵıas6. Tal que al ir a enerǵıas más bajas, la simetŕıa de escala no es más preser- vada. Esta quiebra de la simetŕıa de escala lleva consecuentemente a la aparición de un bosón de Goldstone, el cúal es identificado como el dilatón. De esta forma debajo de alguna energ´ıa umbral Λ = 4πf podemos escribir una teor´ıa efectiva donde la simetŕıa de escala se preserva a través de la inserción del campo dilatonico usando el método de spurions, el cual fue usado entre las Ecs.(68) y (70) para introducir al campo χ. 2.2.6. Extensiones del Modelo Estándar con simetŕıa de escala Como se mencionó en la última parte de la sección pasada, es factible extender el Modelo Estándar de la f́ısica de part́ıculas a través de la implementación de la simetŕıa de escala. Dicha inserción se da a través de las transformaciones de escala para campos bosónicos y fermiónicos basadas en el método de spurions analizadas en secciones anteriores. En esta sección introduciremos el escenario concreto donde analizaremos estas extensiones. Analizaremos en mayor profundidad las transformaciones de los campos al momento de acoplarse con el campo dilatónico. De particular importancia serán los casos de acoplamiento con los bosones vectoriales (Wµ, Zµ, Aµ, etc). Es debido a que dentro del Modelo Estándar tenemos dos tipos de bosones vectoriales, los masivos (Wµ, Zµ) y los no masivos (Aµ, Gµ, representando a los fotones y gluones, respectivamente). Más aún, dentro de las posibles extensiones del Modelo Estándar podŕıamos contar con la aparición de otros bosones vectoriales que podŕıan estar asociados a nuevas simetr´ıas o no. Primero asumiremos que a una determinada escala de energ´ıa UV tenemos una teoŕıa conforme la cual es espontáneamente quebrada, en adelante nos referiremos a este sector como “sector compuesto”. Además de ello, hay otro sector débilmente 6 Aqúı altas enerǵıas significa a enerǵıas mayores que la escala de la quiebra de simetŕıa elec- trodébil 33 i i i i acoplado a este, cuyo efecto es quebrar expl´ıcitamente la invarianza conforme. Di- cho sector es conocido en la literatura como “sector elemental”. También se podŕıa considerar la aparición de términos que quiebran ligeramente la simetŕıa conforme dentro del sector compuesto. Es importante mencionar que los campos fermiónicos, o también llamados cam- pos de materia del Modelo Estándar, serán considerados principalmente como cam- pos elementales. Sin embargo, debido a sus escalas de energ´ıa, algunos de ellos podŕıan ser considerados parcialmente compuestos, como ejemplo tenemos al quark top con una masa de mtop = 170 GeV. Asumimos entonces que a una escala UV la teor´ıa queda definida por la lagran- giana [16, 17, 20] Σ LUV = UgVO . (75)i CFT i i Como mencionamos anteriormente, en los operadores consideraremos tanto opera- dores con dimensión de escala ∆UV = 4 como aquellos que quiebran levemente la simetr´ıa ∆UV = 4. Dentro de las diferentes contribuciones, trataremos como spurions a los acoplamientos de los términos que quiebran la simetŕıa. De esta forma estos UV pasan a tener una dimension de escala ficticia ∆gi = 4 − ∆ i . A escalas de energ´ıa menores que un cierto valor umbral Λ = 4πf tendremos una teor´ıa efectiva a bajas enerǵıas, en la cual el contenido de part́ıculas podŕıa no ser el mismo. Como ejem- plo tenemos los quarks de la Cromodinámica Cuántica presentes a altas enerǵıas, y los hadrones que se forman a bajas energ´ıas. Planteamos la siguiente lagrangiana a bajas energ´ıas Σ LIR = cj Y ! gni OIRχmj (76) CFT i j j i donde los cj son los coeficientes de la expansión, y dependerian de los acoplamientos de los términos invariantes de escala en la teoŕıa UV. Es importante hacer notar que en la Ec.(76), la expansión esta siendo realizada en los acoplamientos que quebraban explicitamente la simetŕıa de escala en la región UV. El campo χ que actua como Σ compensador pasa a tener la dimensión de escala mj = 4 − ∆IR − i ni 4 − ∆UV . Teniendo en mente un escenario más simplificado restringimjos nuestro estudiio a solo una potencia del acoplamiento que quiebra explicitamente la siemtr´ıa de escala, entonces la Ec.(76) se torna LIR = Σ c g OIRχ∆UV−∆IR , (77) i i CFT j j j donde mi = ∆UV − ∆IR. Considerando la Ec.(69), y expandiendo al orden más relevante en función del campo dilatonico φ tenemos LIR = Σ c g ∆UV − ∆IR OIR φ . (78) dilaton j j i i j f 34 int R ψ ΘL R ψ ΘR L L ψ ψL R ψ ψ ψ ψ Θ ΘL L R R L R En el caso de no tener términos que quiebran la simetŕıa de escala explicitamente la Ec.(77) se vuelve LIR = Σ c g 4 − ∆IR OIR φ . (79) dilaton j j i j f Para analizar el caso de tener fermiones parcialmente compuestos consideremos la siguiente lagrangiana en la región UV de la teoŕıa LUV = yLψLΘR + y† ΘLψR + h.c. (80) donde los fermiones ψL, ψR son elementales, mientras que los fermiones ΘL, ΘR son compuestos. Cada uno de estos campos tiene una cierta dimensión de escala. Por supuesto, los términos propuestos en la Ec.(80) no forman un operador de dimensión 4 tal como es requerido por la invarianza de escala clásica. Es aqúı donde usaremos el método de spurios. De esta manera los coeficientes son promovidos a campos con una transformación de escala que tiene asociado los pesos conformes: ∆y L ∆y R = 4 − ∆UV − ∆UV, (81) = 4 − ∆UV − ∆UV. (82) Luego de integrar fuera los grados de libertad a altas enerǵıas, e ir a la región IR de la teor´ıa, nos encontramos con una lagrangiana efectiva similar a las das en las