Una versión didáctica de la aplicación de la Teoría de Correspondencias en el Equilibrio de Nash

Abstract

Si X y Y son dos conjuntos, una correspondencia <p de X en Y es una aplicación que asocia a cada punto en X un subconjunto no vacío de Y. Para una correspondencia <p : X =t Y es posible introducir 1ma noción de continuidad, esta característica hace de las correspondencias un instrumento valioso en muchos campos de las matemáticas como en el Análisis Convexo, la Teoría de Control, la Teoría de Juegos, la Economía. En este trabajo se presentan los aspectos más importantes de la teoría de correspondencias para luego mostrar una aplicación didáctica usando algunos de los resultados obtenidos. Se introducen primero las definiciones básicas como la imagen inversa superior e inferior, dominio, rango, gráfica de una correspondencia, etc., así como también las principales operaciones con correspondencias. Estos son los conceptos requeridos para luego desarrollar las correspondencias semicontinuas superior e inferior, las correspondencias cerradas y las respectivas caracterizaciones con sucesiones. También se generaliza el Teorema del punto fijo de Brouwer para funciones continuas, llamado el Teorema de punto fijo de Kakutani el cual nos permitirá demostrar la existencia del equilibrio de Nash en la teoría de juegos.

If X and Y are two sets, one correspondence <p of X in Y is an application that associates to each point in X a nonempty subset of Y. For a correspondence <p : X --->+ Y is possible to introduce a continuity notion, this characteristic makes of the correspondences a valuable instrument in many fields of the mathematics like in Convex Analysis, Control Theory, Game Theory, Economy. In this work we present the most important aspects of the correspondences theory and later we show an didactic application using sorne of the obtained results. Are introduced the first basic definitions like: the superior and inferior inverse image, dominion, rank, graph of a correspondence, as well as the main operations with correspondences. These are the required concepts for soon develop the superior and inferior semicontinuous correspondences, the closed correspondences and the respective characterizations with successions. These concepts extend the theory of continuous functions considerably. Also the Fixed Point Theorem of Brouwer for continuous functions becomes general, called the Fixed Point Theorem of Kakutani which will allow us to proof the existence of the Nash Equilibrium in the Games Theory.