El teorema de Banach-Steinhaus para grupos topológicos

Abstract

El teorema de Banach-Steinhaus es considerado como uno de los poderosos pilares del análisis funcional. Este teorema es conocido también como el Principio de Acotación Uniforme, el cual nos proporciona un criterio para determinar cuándo una familia de operadores lineales y acotados entre espacios normados está acotada uniformemente, es decir, permite pasar de una acotación de tipo “puntual” a una acotación de tipo “uniforme”. Este teorema, y algunas de sus aplicaciones los estudiaremos sobre grupos to- pológicos reemplazando los operadores lineales por homomorfismo equicontinuos; de esta manera, buscamos mostrar las fuertes propiedades que acompañan el con- cepto de grupo topológico, las cuales se deben a la combinación de la estructura algebraica de un grupo con la de espacio topológico. La demostración se realiza desde una perspectiva meramente teórica basándonos en fundamentos lógicos de- bidamente probados y utilizando el método deductivo para alcanzar los objetivos. Nuestra investigación permitirá mostrar la “riqueza” de la estructura de grupo to- pológico, permitiendo un mayor conocimiento para este campo que no había sido muy ahondado, así como también abrirá un sin número de corolarios y aplicaciones que pueden desprenderse debido a la generalización de este teorema. Asimismo, consideramos impórtate señalar que el tema no está para nada ce- rrado y este teorema podría extenderse sobre muchas más variedades de estructuras algebraicas y topológicas.